Arctangens-beregner

arctangens er den funktion, der returnerer den vinkel, hvis tangent er lig med et givet tal. arctangens skrives som tan⁻¹(x), arctan(x) eller atan(x), og det vender tangentfunktionen: tan(45°) = 1, så tan⁻¹(1) = 45°.

arctangens (arctangens) er en af de 6 inverse trigonometriske funktioner i trigonometri: arcsin, arccos, arctan, arccsc, arcsec og arccot. Arctangent accepterer hvert reelt tal og returnerer en hovedværdi mellem −90° og 90° (−π/2 og π/2 radianer).

I en retvinklet trekant er tangenten af en vinkel θ lig med den modsatte side divideret med den tilstødende side. Den arctangens tager det modsatte/tilstødende forhold og returnerer vinklen θ. I algebra løser tan⁻¹ ligninger som tan θ = 2: θ = tan⁻¹(2) = 63.43°.

• Input: ethvert reelt tal, såsom et forhold, en hældning eller en decimal.
• Output: en vinkel i grader eller radianer.
• Rækkevidde: −90° < θ < 90° eller −π/2 < θ < π/2.

For at beregne arctangens skal du dividere den modsatte side med den tilstødende side og anvende tan⁻¹ på resultatet. Den arctangensberegning har 3 trin:

1. Del den modsatte side med den tilstødende side: x = modsat/tilstødende.
2. Anvend den arctangens: θ = tan⁻¹(x), i radianer.
3. Konverter vinklen til grader, hvis det er nødvendigt: grader = radianer × 180/π.

Modsat = 3 og tilstødende = 4 giver x = 0.75. tan⁻¹(0.75) = 0.6435 rad = 36.87°. Hypotenusen følger af Pythagoras sætning: √(3² + 4²) = 5.

Yderligere to eksempler på arctangens: tan⁻¹(0) = 0° og tan⁻¹(1/3) = 18.43° (0.3218 rad).

For at bruge denne arctangens-beregner skal du vælge en inputmetode, indtaste værdien og aflæse vinklen. Brug af tan-1 lommeregneren tager 5 trin:

1. Vælg input: Decimal / x, Opp / Adj (modsat / tilstødende) eller Punkt (x, y).
2. Indtast værdien: en decimal, en brøk som 3/4 eller et udtryk som 1/√3.
3. Vælg 1 af 9 resultatenheder, inklusive grader, radianer, gradianer og minutter eller buesekunder.
4. Indstil afrundingen: heltal, tiendedele, hundrededele, tusindedele eller op til 15 decimaler for maksimal nøjagtighed.
5. Læs vinklen, den nøjagtige værdi, den trinvise løsning og diagrammet. Tænd for Vis etiketter for at navngive trekantsiderne.

Denne bue tan lommeregner opdaterer resultatet, mens du skriver. Punkt (x, y) input bruger atan2(y, x), så arctan regnemaskinen returnerer den fulde vinkel i alle 4 kvadranter, fra −180° til 180°.

Den arctangensformel er θ = tan⁻¹(modstående katete / hosliggende katete).

Formlen kommer fra tangentforholdet for en retvinklet trekant, tan θ = modsat/tilstødende. Ved at anvende tan⁻¹ på begge sider isoleres vinklen θ. Der er 7 relaterede arctangensformler:

• Koordinater: θ = atan2(y, x) for et punkt (x, y).
• Slope: θ = tan⁻¹(m), hvor m = stigning/løb.
• Supplement: tan⁻¹(x) + tan⁻¹(1/x) = 90° til x > 0.
• Sum: tan⁻¹(a) + tan⁻¹(b) = tan⁻¹((a + b) / (1 − ab)) for ab < 1.
• Afledt (kalkulus, differentiering): d/dx tan⁻¹(x) = 1 / (1 + x²).
• Integral (integration): ∫ tan⁻¹(x) dx = x·tan⁻¹(x) − ½·ln(1 + x²) + C.
• Komplekse tal og hyperbolske funktioner: tan⁻¹(z) = (i/2)·ln((i + z) / (i − z)) = −i·tanh⁻¹(iz).

arctangens i grader giver vinklen på en skala fra −90° til 90°. For at konvertere et radianresultat til grader skal du gange med 180/π (om 57.2958). Denne aflæser radianer til grader θ° = θ rad × 180/π.

En grad opdeles i grader, minutter og sekunder (DMS). Én grad har 60 minutter, og ét minut har 60 sekunder: tan⁻¹(0.75) = 36.8699° = 36° 52′ 11.6″. For at konvertere sekunder til grader, divider sekunderne med 3,600.

arctangens i radianer giver vinklen som en bue på en enhedscirkel, mellem −π/2 og π/2 (−1.5708 til 1.5708). Én radian er vinklen, hvis bue på en cirkel svarer til radius, og et fuldt omdrejning er 2π radianer (360°).

For konvertering af grader til radianer, gang graderne med π/180. Der er 4 arctangensværdier i radianer, som er værd at kende:

• tan⁻¹(1) = π/4 = 0.7854 rad
• tan⁻¹(√3) = π/3 = 1.0472 rad
• tan⁻¹(0.75) = 0.6435 rad
• tan⁻¹(1/3) = 0.3218 rad

MATLAB, Excel, Python og de fleste programmeringssprog returnerer atan resultater i radianer. MATLAB bruger atand(x) til grader, og Excel ombryder resultatet i DEGREES().

For at bruge arctangens på en videnskabelig lommeregner skal du trykke på tasten SHIFT eller 2nd, trykke på tan, indtaste tallet og trykke lig. Der er 4 trin:

1. Indstil vinkeltilstanden: DEG for grader eller RAD for radianer.
2. Trykke SHIFT (Casio), 2nd (Texas Instruments) eller INV at nå tan⁻¹.
3. Tryk på tan for at åbne tan⁻¹( og skriv nummeret.
4. Tryk på = for at vise vinklen.

På en Casio fx-82 eller fx-991, tastesekvensen SHIFT, tan, 1, = vender tilbage 45 i grad mode og 0.7853981634 i radiantilstand. En forkert vinkeltilstand er den mest almindelige fejl: tan⁻¹(1) viser 0.785 i RAD tilstand i stedet for 45.

Windows Lommeregner og iPhone Lommeregner bruger den omvendte rækkefølge: Indtast tallet først, og tryk derefter på tan⁻¹.

For at finde arctangens på Android Calculator (Google Calculator), skal du åbne de videnskabelige taster, trykke på INV og trykke på tan⁻¹. Processen har 4 trin:

1. Åbn Lommeregner, og tryk på udvidelsespilen over tastaturet, eller drej telefonen til siden.
2. Tryk på DEG eller RAD for at vælge grader eller radianer.
3. Tryk på INV: sin, cos og tan skifte til sin⁻¹, cos⁻¹ og tan⁻¹.
4. Tryk tan⁻¹, skriv nummeret, og tryk på =. tan⁻¹(1) viser 45.

Samsung Lommeregner følger samme rækkefølge: Åbn de videnskabelige nøgler, tryk på Inv, og tryk derefter på tan⁻¹.

For at finde arctangens på iPhone Lommeregner skal du skifte til videnskabelig tilstand, indtaste tallet, trykke på 2nd og trykke på tan⁻¹. Processen har 4 trin:

1. Åben Lommeregner. På iOS 18 skal du trykke på lommeregnerikonet og vælge Videnskabeligt; på iOS 17 eller tidligere, drej iPhone sidelæns.
2. Tjek vinkeltilstanden: Rad på skærmen betyder radianer, og Rad/Deg-tasten skifter tilstand.
3. Indtast nummeret, for eksempel 1.
4. Tryk på 2nd og derefter tan⁻¹. Displayet viser 45.

iPhone Lommeregner anvender tan⁻¹ til tallet på skærmen, så tallet kommer først.

For at finde arctangens på Windows Lommeregner skal du skifte til videnskabelig tilstand, indtaste tallet, åbne Trigonometri, vælge 2nd og vælge tan⁻¹. Processen har 4 trin:

1. Åbn Lommeregner, vælg menuen (☰), og vælg Videnskabelig.
2. Vælg vinkeltilstandsknappen, indtil den viser DEG, RAD eller GRAD.
3. Indtast nummeret, for eksempel 1.
4. Åbn Trigonometri, vælg 2nd, og vælg derefter tan⁻¹. Displayet viser 45.

Tastaturgenvejen til tan⁻¹ i Windows Lommeregner er Shift + T.

For at beregne arctangens uden en lommeregner skal du bruge 1 af 3 metoder: specielle trekanter, en Taylor-række eller småvinklen.

1. Særlige retvinklede trekanter give nøjagtige værdier. EN 45-45-90 trekant giver tan⁻¹(1) = 45°, og en 30-60-90 trekant giver tan⁻¹(1/√3) = 30° og tan⁻¹(√3) = 60°.
2. Taylor-serien tan⁻¹(x) = x − x³/3 + x⁵/5 − x⁷/7 + … virker for |x| ≤ 1. Til |x| > 1, brug tan⁻¹(x) = π/2 − tan⁻¹(1/x) når x > 0. Fire led giver tan⁻¹(0.5) ≈ 0.5 − 0.041667 + 0.00625 − 0.001116 = 0.463467 rad, tæt på den sande 0.463648 rad (26.565°).
3. Småvinkelreglen tan⁻¹(x) ≈ x radianer forbliver inden for 0.4% for |x| ≤ 0.1.

Lommeregnere og computerchips evaluerer arctangens med CORDIC-algoritmen (COordinate Rotation DIgital Computer). CORDIC roterer en vektor gennem faste små vinkler med kun forskydninger og tilføjelser.

Det omvendte af tangent har 4 almindelige notationer: tan⁻¹(x), arctan(x), atan(x) og arctg(x).

−1 i tan⁻¹(x) markerer en invers funktion, ikke en eksponent. tan⁻¹(x) adskiller sig fra (tan x)⁻¹ = 1/tan(x), hvilket er lig med cot(x). Buepræfikset kommer fra enhedscirklen: arctan(x) er buelængden i radianer, hvis tangent er x.

De arctan(x) grafen er en stigende S-formet kurve gennem origo, der udjævnes ved to vandrette asymptoter, y = π/2 og y = −π/2. Den arctangensgraf har 5 nøglefunktioner:

• Domæne: alle reelle tal, (−∞, ∞).
• Rækkevidde: (−π/2, π/2), eller (−90°, 90°).
• Symmetri: en ulige funktion, symmetrisk omkring oprindelsen.
• Slope: 1 ved x = 0, fra den afledte 1 / (1 + x²).
• Bøjningspunkt: (0, 0).

arctan-grafen er reflektionen af tangentgrafen på (−π/2, π/2) på tværs af linjen y = x. Domænet og rækkevidden af ​​de to grafer bytter plads.

Den arctangenstabel viser tan⁻¹(x) for fælles værdier af x i grader og radianer. Præcise værdier kommer fra de specielle vinkler 15°, 30°, 45°, 60° og 75°.

Tangenttabellen løber den anden vej, fra vinkel til forhold: en tangentberegning giver tan(30°) = 0.5774, tan(45°) = 1 og tan(60°) = 1.7321. Store input nærmer sig 90°: tan⁻¹(45) = 88.73° og tan⁻¹(100) = 89.43°.

Vælg en række for at indlæse værdien i lommeregneren. Brug afrundingsknapperne til at skifte mellem heltal, tiendedele, hundrededele, tusindedele og maksimal nøjagtighed.

For at finde tan⁻¹ af negative tal skal du finde tan⁻¹ af den positive værdi og sætte et minustegn foran: tan⁻¹(−x) = −tan⁻¹(x). Arctangens er en ulige funktion, så et negativt input giver altid en vinkel mellem −90° og 0°.

• tan⁻¹(−0.5) = −26.57°
• tan⁻¹(−√3) = −60°
• tan⁻¹(−2) = −63.43°

En negativ hovedværdi peger ind i kvadrant IV. Tilføj 180° for en kvadrant II-vinkel, når punktet ligger til venstre for y-aksen: atan2(1, −1) = 135°.

Hvad er tan−1 af −1?

De tan⁻¹ af −1 er −45°, eller -π/4 radianer (−0.7854 rad). tan(−45°) = −1, og −45° ligger inden for hovedområdet af −90° til 90°. På en 0° til 360° skala, samme retning er 315°.