Arctangens berekenen

Inverse tangens is de functie die de hoek retourneert waarvan de tangens gelijk is aan een bepaald getal. Inverse tangens wordt geschreven als tan⁻¹(x), arctan(x) of atan(x), en keert de tangensfunctie om: tan(45°) = 1, dus tan⁻¹(1) = 45°.

Inverse tangens (boogtangens) is een van de 6 inverse trigonometrische functies in trigonometrie: arcsin, arccos, arctan, arccsc, arcsec en arccot. Arctangent accepteert elk reëel getal en retourneert een hoofdwaarde tussen −90° en 90° (−π/2 en π/2 radialen).

In een rechthoekige driehoek is de raaklijn van een hoek θ gelijk aan de tegenoverliggende zijde gedeeld door de aangrenzende zijde. De inverse tangens neemt de verhouding tegengesteld/aangrenzend en retourneert de hoek θ. In de algebra lost tan⁻¹ vergelijkingen op zoals tan θ = 2: θ = tan⁻¹(2) = 63.43°.

• Invoer: elk reëel getal, zoals een verhouding, een helling of een decimaal.
• Uitvoer: een hoek in graden of radialen.
• Bereik: −90° < θ < 90°, of −π/2 < θ < π/2.

Om de inverse tangens te berekenen, deelt u de tegenoverliggende zijde door de aangrenzende zijde en past u tan⁻¹ toe op het resultaat. De berekening van de inverse tangens heeft 3 stappen:

1. Verdeel de tegenoverliggende zijde door de aangrenzende zijde: x = tegenoverliggend / aangrenzend.
2. Pas de inverse tangens toe: θ = tan⁻¹(x), in radialen.
3. Converteer de hoek naar graden, indien nodig: graden = radialen × 180/π.

Tegenover = 3 en aangrenzend = 4 geven x = 0.75. tan⁻¹(0.75) = 0.6435 rad = 36.87°. De hypotenusa volgt uit de stelling van Pythagoras: √(3² + 4²) = 5.

Nog twee voorbeelden van inverse tangens: tan⁻¹(0) = 0° en tan⁻¹(1/3) = 18.43° (0.3218 rad).

Om deze inverse tangenscalculator te gebruiken, kiest u een invoermethode, typt u de waarde en leest u de hoek. Het gebruik van de rekenmachine tan-1 duurt 5 stappen:

1. Kies de invoer: Decimaal / x, Opp / Adj (tegenover / aangrenzend) of Punt (x, y).
2. Voer de waarde in: een decimaal, een breuk zoals 3/4 of een uitdrukking zoals 1/√3.
3. Kies 1 uit 9 resultaateenheden, inclusief graden, radialen, gradiënten en boogminuten of boogseconden.
4. Stel de afronding in: geheel getal, tienden, honderdsten, duizendsten of tot 15 decimalen voor maximale nauwkeurigheid.
5. Lees de hoek, de exacte waarde, de stapsgewijze oplossing en het diagram. Schakel Labels weergeven in om de zijden van de driehoek een naam te geven.

Deze boog tan rekenmachine werkt het resultaat bij terwijl u typt. De invoer Punt (x, y) gebruikt atan2(y, x), dus de rekenmachine arctan retourneert de volledige hoek in alle 4 kwadranten, van −180° tot 180°.

De inverse tangensformule is θ = tan⁻¹(overstaande rechthoekszijde / aanliggende rechthoekszijde).

De formule komt van de raaklijnverhouding van een rechthoekige driehoek, tan θ = tegenovergesteld / aangrenzend. Door tan⁻¹ op beide zijden toe te passen, wordt de hoek θ geïsoleerd. Er zijn 7 gerelateerde inverse tangensformules:

• Coördinaten: θ = atan2(y, x) voor een punt (x, y).
• Helling: θ = tan⁻¹(m), waarbij m = stijgen / rennen.
• Aanvulling: tan⁻¹(x) + tan⁻¹(1/x) = 90° voor x > 0.
• Som: tan⁻¹(a) + tan⁻¹(b) = tan⁻¹((a + b) / (1 − ab)) voor ab < 1.
• Afgeleide (calculus, differentiatie): d/dx tan⁻¹(x) = 1 / (1 + x²).
• Integraal (integratie): ∫ tan⁻¹(x) dx = x·tan⁻¹(x) − ½·ln(1 + x²) + C.
• Complexe getallen en hyperbolische functies: tan⁻¹(z) = (i/2)·ln((i + z) / (i − z)) = −i·tanh⁻¹(iz).

Inverse tangens in graden geeft de hoek op een schaal van −90° tot 90°. Om een radiaalresultaat naar graden om te zetten, vermenigvuldig je met 180/π (ongeveer 57.2958). Deze conversie van radialen naar graden luidt θ° = θ rad × 180/π.

Een graad wordt opgesplitst in graden, minuten en seconden (DMS). Eén graad heeft 60 minuten en één minuut heeft 60 seconden: tan⁻¹(0.75) = 36.8699° = 36° 52′ 11.6″. Voor seconden tot graden deelt u de seconden door 3,600.

Inverse tangens in radialen geeft de hoek als booglengte op de eenheidscirkel, tussen −π/2 en π/2 (−1.5708 tot 1.5708). Eén radiaal is de hoek waarvan de boog op een cirkel gelijk is aan de straal, en een volledige draai is 2π radialen (360°).

Voor de conversie van graden naar radialen vermenigvuldigt u de graden met π/180. Er zijn 4 inverse tangenswaarden in radialen die de moeite waard zijn om te weten:

• tan⁻¹(1) = π/4 = 0.7854 rad
• tan⁻¹(√3) = π/3 = 1.0472 rad
• tan⁻¹(0.75) = 0.6435 rad
• tan⁻¹(1/3) = 0.3218 rad

MATLAB, Excel, Python en de meeste programmeertalen retourneren atan resultaten in radialen. MATLAB gebruikt atand(x) voor graden, en Excel verpakt het resultaat in DEGREES().

Om de inverse tangens op een wetenschappelijke rekenmachine te gebruiken, drukt u op de toets SHIFT of 2nd, drukt u op tan, voert u het getal in en drukt u op is gelijk aan. Er zijn 4 stappen:

1. Stel de hoekmodus in: DEG voor graden of RAD voor radialen.
2. Druk op SHIFT (Casio), 2nd (Texas Instruments) of INV om tan⁻¹ te bereiken.
3. Druk op tan om tan⁻¹( te openen en typ het nummer.
4. Druk op = om de hoek weer te geven.

Op een Casio fx-82 of fx-991 retourneert de toetsenreeks SHIFT, tan, 1, = 45 in gradenmodus en 0.7853981634 in radialenmodus. Een verkeerde hoekmodus is de meest voorkomende fout: tan⁻¹(1) toont 0.785 in de modus RAD in plaats van 45.

Windows Rekenmachine en iPhone Rekenmachine gebruiken de omgekeerde volgorde: typ eerst het getal en druk vervolgens op tan⁻¹.

Om de inverse tangens op de rekenmachine Android (Google Calculator) te vinden, opent u de wetenschappelijke toetsen, tikt u op INV en tikt u op tan⁻¹. Het proces bestaat uit 4 stappen:

1. Open Rekenmachine en tik op de uitvouwpijl boven het toetsenbord, of draai de telefoon zijwaarts.
2. Tik op DEG of RAD om graden of radialen te kiezen.
3. Tik op INV: sin, cos en tan verander in sin⁻¹, cos⁻¹ en tan⁻¹.
4. Tik op tan⁻¹, typ het nummer en tik op =. tan⁻¹(1) toont 45.

Samsung De rekenmachine volgt dezelfde volgorde: open de wetenschappelijke toetsen, tik op Inv en tik vervolgens op tan⁻¹.

Om de inverse tangens op de rekenmachine iPhone te vinden, schakelt u over naar de wetenschappelijke modus, typt u het getal, tikt u op 2nd en vervolgens op tan⁻¹. Het proces bestaat uit 4 stappen:

1. Open Rekenmachine. Op iOS 18 tikt u op het rekenmachinepictogram en kiest u Wetenschappelijk; op iOS 17 of eerder draait u de iPhone zijwaarts.
2. Controleer de hoekmodus: Rad op het display betekent radialen, en de toets Rad/Deg schakelt tussen modi.
3. Typ het nummer, bijvoorbeeld 1.
4. Tik op 2nd en vervolgens op tan⁻¹. Op het display wordt 45 weergegeven.

iPhone De rekenmachine past tan⁻¹ toe op het getal op het scherm, dus het getal komt eerst.

Om de inverse tangens op de rekenmachine Windows te vinden, schakelt u over naar de wetenschappelijke modus, typt u het getal, opent u Trigonometrie, selecteert u 2nd en selecteert u tan⁻¹. Het proces bestaat uit 4 stappen:

1. Open Rekenmachine, selecteer het menu (☰) en kies Wetenschappelijk.
2. Selecteer de hoekmodusknop totdat deze DEG, RAD of GRAD toont.
3. Typ het nummer, bijvoorbeeld 1.
4. Open Trigonometrie, selecteer 2nd en selecteer vervolgens tan⁻¹. Op het display wordt 45 weergegeven.

De sneltoets voor tan⁻¹ in Windows Rekenmachine is Shift + T.

Om de inverse tangens zonder rekenmachine te berekenen, gebruikt u 1 van 3 methoden: speciale driehoeken, een Taylorreeks of de kleine-hoekregel.

1. Speciale rechthoekige driehoeken geven exacte waarden. Een 45-45-90 driehoek geeft tan⁻¹(1) = 45°, en een 30-60-90 driehoek geeft tan⁻¹(1/√3) = 30° en tan⁻¹(√3) = 60°.
2. De Taylor-serie tan⁻¹(x) = x − x³/3 + x⁵/5 − x⁷/7 + … werkt voor |x| ≤ 1. Voor |x| > 1, gebruik tan⁻¹(x) = π/2 − tan⁻¹(1/x) wanneer x > 0. Vier termen geven tan⁻¹(0.5) ≈ 0.5 − 0.041667 + 0.00625 − 0.001116 = 0.463467 rad, dicht bij de echte 0.463648 rad (26.565°).
3. De kleinehoekregel tan⁻¹(x) ≈ x radialen blijven binnen 0.4% voor |x| ≤ 0.1.

Rekenmachines en computerchips evalueren de boogtangens met het CORDIC algoritme (COcoördinaten Rotatie Digitale Computer). CORDIC roteert een vector door vaste kleine hoeken met alleen verschuivingen en toevoegingen.

De inverse van de raaklijn heeft 4 gebruikelijke notaties: tan⁻¹(x), arctan(x), atan(x) en arctg(x).

De −1 in tan⁻¹(x) markeert een inverse functie, geen exponent. tan⁻¹(x) verschilt van (tan x)⁻¹ = 1/tan(x), wat gelijk is aan cot(x). Het boogvoorvoegsel komt uit de eenheidscirkel: arctan(x) is de booglengte, in radialen, waarvan de raaklijn x is.

De arctan(x) grafiek is een stijgende S-vormige curve door de oorsprong die afvlakt op twee horizontale asymptoten, y = π/2 en y = −π/2. De inverse tangensgrafiek heeft 5 belangrijkste kenmerken:

• Domein: alle reële getallen, (−∞, ∞).
• Bereik: (−π/2, π/2), of (−90°, 90°).
• Symmetrie: een oneven functie, symmetrisch ten opzichte van de oorsprong.
• Helling: 1 bij x = 0, van de afgeleide 1 / (1 + x²).
• Buigpunt: (0, 0).

De grafiek arctan is de weerspiegeling van de raakgrafiek op (−π/2, π/2) over de lijn y = x. Het domein en het bereik van de twee grafieken wisselen van plaats.

De tabel met inverse raaklijnen bevat tan⁻¹(x) voor algemene waarden van x in graden en radialen. Exacte waarden komen uit de speciale hoeken 15°, 30°, 45°, 60° en 75°.

De raaklijnentabel loopt de andere kant op, van hoek naar verhouding: een raaklijnberekening levert tan(30°) = 0.5774, tan(45°) = 1 en tan(60°) = 1.7321 op. Grote invoer benadert 90°: tan⁻¹(45) = 88.73° en tan⁻¹(100) = 89.43°.

Selecteer een rij om de waarde in de rekenmachine te laden. Gebruik de afrondingsknoppen om te schakelen tussen gehele getallen, tienden, honderdsten, duizendsten en maximale nauwkeurigheid.

Om tan⁻¹ van de negatieve getallen te vinden, zoek je tan⁻¹ van de positieve waarde en plaats je een minteken ervoor: tan⁻¹(−x) = −tan⁻¹(x). Arctangens is een vreemde functie, dus een negatieve invoer geeft altijd een hoek tussen −90° en 0°.

• tan⁻¹(−0.5) = −26.57°
• tan⁻¹(−√3) = −60°
• tan⁻¹(−2) = −63.43°

Een negatieve hoofdwaarde wijst naar kwadrant IV. Voeg 180° toe voor een kwadrant II-hoek, wanneer het punt links van de y-as ligt: ​​atan2(1, −1) = 135°.

Wat is de tan−1 van −1?

De tan⁻¹ van −1 is −45°, of −π/4 radialen (−0.7854 rad). tan(−45°) = −1, en −45° ligt binnen het hoofdbereik van −90° tot 90°. Op een schaal van 0° tot 360° is dezelfde richting 315°.