Υπολογιστής αντίστροφης εφαπτομένης

Αντίστροφη εφαπτομένη είναι η συνάρτηση που επιστρέφει τη γωνία της οποίας η εφαπτομένη ισούται με έναν δεδομένο αριθμό. Η αντίστροφη εφαπτομένη γράφεται ως tan⁻¹(x), arctan(x) ή atan(x), και αντιστρέφει τη συνάρτηση εφαπτομένης: tan(45°) = 1, έτσι tan⁻¹(1) = 45°.

Η αντίστροφη εφαπτομένη (arctangent) είναι μία από τις 6 αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις στην τριγωνομετρία: arcsin, arccos, arctan, arccsc, arcsec και arccot. Το Arctangent δέχεται κάθε πραγματικό αριθμό και επιστρέφει μια κύρια τιμή μεταξύ −90° και 90° (−π/2 και π/2 ακτίνια).

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, η εφαπτομένη μιας γωνίας θ ισούται με την αντίθετη πλευρά διαιρούμενη με τη διπλανή πλευρά. Η αντίστροφη εφαπτομένη παίρνει τον λόγο αντίθετο/γειτονικό και επιστρέφει τη γωνία θ. Στην άλγεβρα, το tan⁻¹ λύνει εξισώσεις όπως tan θ = 2: θ = tan⁻¹(2) = 63.43°.

• Είσοδος: οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός, όπως λόγος, κλίση ή δεκαδικός.
• Έξοδος: μια γωνία σε μοίρες ή ακτίνια.
• Εύρος: −90° < θ < 90° ή −π/2 < θ < π/2.

Για να υπολογίσετε την αντίστροφη εφαπτομένη, διαιρέστε την απέναντι πλευρά με τη διπλανή πλευρά και εφαρμόστε το tan⁻¹ στο αποτέλεσμα. Ο υπολογισμός της αντίστροφης εφαπτομένης έχει 3 βήματα:

1. Διαιρέστε την αντίθετη πλευρά από τη διπλανή πλευρά: x = απέναντι / παρακείμενο.
2. Εφαρμόστε την αντίστροφη εφαπτομένη: θ = tan⁻¹(x), σε ακτίνια.
3. Μετατρέψτε τη γωνία σε μοίρες, εάν χρειάζεται: μοίρες = ακτίνια × 180/π.

Απέναντι = 3 και παρακείμενο = 4 δίνουν x = 0.75. tan⁻¹(0.75) = 0.6435 rad = 36.87°. Η υποτείνουσα προκύπτει από το Πυθαγόρειο θεώρημα: √(3² + 4²) = 5.

Δύο ακόμη παραδείγματα αντίστροφης εφαπτομένης: tan⁻¹(0) = 0° και tan⁻¹(1/3) = 18.43° (0.3218 rad).

Για να χρησιμοποιήσετε αυτήν την αριθμομηχανή αντίστροφης εφαπτομένης, επιλέξτε μια μέθοδο εισαγωγής, πληκτρολογήστε την τιμή και διαβάστε τη γωνία. Χρησιμοποιώντας την αριθμομηχανή tan-1 γίνονται 5 βήματα:

1. Επιλέξτε την είσοδο: Δεκαδικό / x, Opp / Adj (απέναντι / παρακείμενο) ή Σημείο (x, y).
2. Εισαγάγετε την τιμή: ένα δεκαδικό, ένα κλάσμα όπως 3/4 ή μια έκφραση όπως 1/√3.
3. Διαλέξτε 1 από 9 μονάδες αποτελέσματος, συμπεριλαμβανομένων μοιρών, ακτίνων, κλίσεων και λεπτών ή δευτερολέπτων τόξου.
4. Ρυθμίστε τη στρογγυλοποίηση: ακέραιος αριθμός, δέκατα, εκατοστά, χιλιοστά ή έως 15 δεκαδικά ψηφία για μέγιστη ακρίβεια.
5. Διαβάστε τη γωνία, την ακριβή τιμή, τη βήμα προς βήμα λύση και το διάγραμμα. Ενεργοποιήστε το Εμφάνιση ετικετών για να ονομάσετε τις πλευρές του τριγώνου.

Αυτό το τόξο tan Η αριθμομηχανή ενημερώνει το αποτέλεσμα καθώς πληκτρολογείτε. Το σημείο (x, y) χρήσεις εισόδου atan2(y, x), άρα το arctan Η αριθμομηχανή επιστρέφει την πλήρη γωνία σε όλα 4 τεταρτημόρια, από −180° να 180°.

Ο τύπος της αντίστροφης εφαπτομένης είναι θ = tan⁻¹(απέναντι κάθετη πλευρά / προσκείμενη κάθετη πλευρά).

Ο τύπος προέρχεται από τον λόγο της εφαπτομένης ενός ορθογωνίου τριγώνου, tan θ = απέναντι / παρακείμενο. Η εφαρμογή του tan⁻¹ και στις δύο πλευρές απομονώνει τη γωνία θ. Υπάρχουν 7 σχετικοί τύποι αντίστροφης εφαπτομένης:

• Συντεταγμένες: θ = atan2(y, x) για ένα σημείο (x, y).
• Κλίση: θ = tan⁻¹(m), όπου m = άνοδος / τρέξιμο.
• Συμπλήρωμα: tan⁻¹(x) + tan⁻¹(1/x) = 90° για x > 0.
• Άθροισμα: tan⁻¹(a) + tan⁻¹(b) = tan⁻¹((a + b) / (1 − ab)) για ab < 1.
• Παράγωγος (λογισμός, διαφοροποίηση): d/dx tan⁻¹(x) = 1 / (1 + x²).
• Ολοκληρωμένο (ολοκλήρωση): ∫ tan⁻¹(x) dx = x·tan⁻¹(x) − ½·ln(1 + x²) + C.
• Μιγαδικοί αριθμοί και υπερβολικές συναρτήσεις: tan⁻¹(z) = (i/2)·ln((i + z) / (i − z)) = −i·tanh⁻¹(iz).

Η αντίστροφη εφαπτομένη σε μοίρες δίνει τη γωνία σε κλίμακα από −90° να 90°. Για να μετατρέψετε ένα αποτέλεσμα ακτίνων σε μοίρες, πολλαπλασιάστε με 180/π (για 57.2958). Αυτή η μετατροπή ακτίνων σε μοίρες διαβάζει θ° = θ rad × 180/π.

Ένας βαθμός χωρίζεται σε μοίρες, λεπτά και δευτερόλεπτα (DMS). Ένας βαθμός έχει 60 λεπτά και ένα λεπτό έχει 60 δευτερόλεπτα: tan⁻¹(0.75) = 36.8699° = 36° 52′ 11.6″. Για δευτερόλεπτα σε μοίρες, διαιρέστε τα δευτερόλεπτα με το 3,600.

Η αντίστροφη εφαπτομένη σε ακτίνια δίνει τη γωνία ως μήκος τόξου στον μοναδιαίο κύκλο, μεταξύ −π/2 και π/2 (−1.5708 να 1.5708). Ένα ακτίνιο είναι η γωνία της οποίας το τόξο σε έναν κύκλο ισούται με την ακτίνα, και μια πλήρης στροφή είναι 2π ακτίνια (360°).

Για τη μετατροπή μοιρών σε ακτίνια, πολλαπλασιάστε τις μοίρες με π/180. Υπάρχουν 4 τιμές αντίστροφης εφαπτομένης σε ακτίνια που αξίζει να γνωρίζετε:

• tan⁻¹(1) = π/4 = 0.7854 ραδ
• tan⁻¹(√3) = π/3 = 1.0472 ραδ
• tan⁻¹(0.75) = 0.6435 ραδ
• tan⁻¹(1/3) = 0.3218 ραδ

MATLAB, Excel, Python και οι περισσότερες γλώσσες προγραμματισμού επιστρέφουν τα αποτελέσματα atan σε ακτίνια. Το MATLAB χρησιμοποιεί το atand(x) για βαθμούς και το Excel αναδιπλώνει το αποτέλεσμα σε DEGREES().

Για να χρησιμοποιήσετε την αντίστροφη εφαπτομένη σε μια επιστημονική αριθμομηχανή, πατήστε το πλήκτρο SHIFT ή 2nd, πατήστε tan, εισαγάγετε τον αριθμό και πατήστε ίσο. Υπάρχουν 4 βήματα:

1. Ρυθμίστε τη λειτουργία γωνίας: DEG για μοίρες ή RAD για ακτίνια.
2. Τύπος SHIFT (Casio), 2nd (Texas Instruments) ή INV να φτάσει tan⁻¹.
3. Πατήστε tan για να ανοίξετε tan⁻¹( και πληκτρολογήστε τον αριθμό.
4. Πατήστε = για να δείξετε τη γωνία.

Σε ένα Casio fx-82 ή fx-991, η σειρά κλειδιών SHIFT, tan, 1, = επιστρέφει 45 σε λειτουργία βαθμού και 0.7853981634 σε λειτουργία ακτίνων. Μια λανθασμένη λειτουργία γωνίας είναι το πιο συνηθισμένο σφάλμα: tan⁻¹(1) δείχνει 0.785 σε RAD λειτουργία αντί για 45.

Windows Αριθμομηχανή και iPhone Αριθμομηχανή χρησιμοποιούν την αντίστροφη σειρά: πληκτρολογήστε πρώτα τον αριθμό και μετά πατήστε tan⁻¹.

Για να βρείτε την αντίστροφη εφαπτομένη στην Αριθμομηχανή Android (Google Calculator), ανοίξτε τα επιστημονικά κλειδιά, πατήστε INV και πατήστε tan⁻¹. Η διαδικασία έχει 4 βήματα:

1. Ανοίξτε Αριθμομηχανή και πατήστε το βέλος επέκτασης πάνω από το πληκτρολόγιο ή γυρίστε το τηλέφωνο στο πλάι.
2. Πατήστε DEG ή RAD για να επιλέξετε μοίρες ή ακτίνια.
3. Παρακέντηση INV: sin, cos και tan αλλαγή σε sin⁻¹, cos⁻¹ και tan⁻¹.
4. Πατήστε tan⁻¹, πληκτρολογήστε τον αριθμό και πατήστε =. Το tan⁻¹(1) δείχνει 45.

Η αριθμομηχανή Samsung ακολουθεί την ίδια σειρά: ανοίξτε τα επιστημονικά κλειδιά, πατήστε Inv και μετά πατήστε tan⁻¹.

Για να βρείτε την αντίστροφη εφαπτομένη στην αριθμομηχανή iPhone, μεταβείτε στην επιστημονική λειτουργία, πληκτρολογήστε τον αριθμό, πατήστε 2nd και πατήστε tan⁻¹. Η διαδικασία έχει 4 βήματα:

1. Άνοιγμα Αριθμομηχανή. Στο iOS 18, πατήστε το εικονίδιο της αριθμομηχανής και επιλέξτε Επιστημονικό. σε iOS 17 ή παλαιότερο, γυρίστε το iPhone στο πλάι.
2. Ελέγξτε τη λειτουργία γωνίας: Rad στην οθόνη σημαίνει ακτίνια και το πλήκτρο Rad/Deg αλλάζει λειτουργίες.
3. Πληκτρολογήστε τον αριθμό, για παράδειγμα 1.
4. Πατήστε 2nd και μετά tan⁻¹. Η οθόνη δείχνει 45.

Η αριθμομηχανή iPhone εφαρμόζεται tan⁻¹ στον αριθμό στην οθόνη, οπότε ο αριθμός έρχεται πρώτος.

Για να βρείτε την αντίστροφη εφαπτομένη στην Αριθμομηχανή Windows, μεταβείτε στην Επιστημονική λειτουργία, πληκτρολογήστε τον αριθμό, ανοίξτε το Trigonometry, επιλέξτε 2nd και επιλέξτε tan⁻¹. Η διαδικασία έχει 4 βήματα:

1. Ανοίξτε Αριθμομηχανή, επιλέξτε το μενού (☰) και επιλέξτε Επιστημονικό.
2. Επιλέξτε το κουμπί λειτουργίας γωνίας μέχρι να εμφανιστεί DEG, RAD ή GRAD.
3. Πληκτρολογήστε τον αριθμό, για παράδειγμα 1.
4. Άνοιγμα Τριγωνομετρία, επιλέξτε 2nd και μετά επιλέξτε tan⁻¹. Η οθόνη δείχνει 45.

Η συντόμευση πληκτρολογίου για tan⁻¹ στην Αριθμομηχανή Windows είναι Shift + T.

Για να υπολογίσετε την αντίστροφη εφαπτομένη χωρίς αριθμομηχανή, χρησιμοποιήστε τις μεθόδους 1 από 3: ειδικά τρίγωνα, μια σειρά Taylor ή τον κανόνα της μικρής γωνίας.

1. Ειδικά ορθογώνια τρίγωνα δώστε ακριβείς τιμές. ΕΝΑ 45-45-90 τρίγωνο δίνει tan⁻¹(1) = 45°, και α 30-60-90 τρίγωνο δίνει tan⁻¹(1/√3) = 30° και tan⁻¹(√3) = 60°.
2. Η σειρά Taylor tan⁻¹(x) = x − x³/3 + x⁵/5 − x⁷/7 + … λειτουργεί για |x| ≤ 1. Για |x| > 1, χρησιμοποιήστε tan⁻¹(x) = π/2 − tan⁻¹(1/x) όταν x > 0. Τέσσερις όροι δίνουν tan⁻¹(0.5) ≈ 0.5 − 0.041667 + 0.00625 − 0.001116 = 0.463467 rad, κοντά στο αληθινό 0.463648 rad (26.565°).
3. Ο κανόνας μικρής γωνίας tan⁻¹(x) ≈ x ακτίνια παραμένει εντός 0.4% για |x| ≤ 0.1.

Οι αριθμομηχανές και τα τσιπ υπολογιστών αξιολογούν την εφαπτομένη με τον αλγόριθμο CORDIC (Ψηφιακός Υπολογιστής Περιστροφής Συντεταγμένων). Το CORDIC περιστρέφει ένα διάνυσμα μέσω σταθερών μικρών γωνιών μόνο με μετατοπίσεις και προσθήκες.

Το αντίστροφο της εφαπτομένης έχει 4 κοινές σημειώσεις: tan⁻¹(x), arctan(x), atan(x) και arctg(x).

Το −1 στο tan⁻¹(x) σηματοδοτεί μια αντίστροφη συνάρτηση, όχι έναν εκθέτη. Το tan⁻¹(x) διαφέρει από το (tan x)⁻¹ = 1/tan(x), που ισούται με cot(x). Το πρόθεμα τόξου προέρχεται από τον μοναδιαίο κύκλο: arctan(x) είναι το μήκος τόξου, σε ακτίνια, του οποίου η εφαπτομένη είναι x.

Ο arctan(x) Το γράφημα είναι μια αυξανόμενη καμπύλη σχήματος S μέσω της αρχής που ισοπεδώνεται σε δύο οριζόντιες ασύμπτωτες, y = π/2 και y = −π/2. Η αντίστροφη εφαπτομένη έχει 5 βασικά χαρακτηριστικά:

• Domain: όλοι οι πραγματικοί αριθμοί, (−∞, ∞).
• Εύρος: (−π/2, π/2) ή (−90°, 90°).
• Συμμετρία: περιττή συνάρτηση, συμμετρική ως προς την αρχή.
• Slope: 1 στο x = 0, από την παράγωγο 1 / (1 + x²).
• Σημείο καμπής: (0, 0).

Το γράφημα arctan είναι η αντανάκλαση του γραφήματος της εφαπτομένης στο (−π/2, π/2) κατά μήκος της γραμμής y = x. Ο τομέας και το εύρος των δύο γραφημάτων ανταλλάσσουν θέσεις.

Ο πίνακας αντίστροφης εφαπτομένης παραθέτει tan⁻¹(x) για κοινές αξίες του x σε μοίρες και ακτίνια. Οι ακριβείς τιμές προέρχονται από τις ειδικές γωνίες 15°, 30°, 45°, 60° και 75°.

Ο πίνακας εφαπτομένων τρέχει αντίστροφα, από γωνία προς λόγο: ένας υπολογισμός εφαπτομένων δίνει tan(30°) = 0.5774, tan(45°) = 1 και tan(60°) = 1.7321. Προσέγγιση μεγάλων εισόδων 90°: tan⁻¹(45) = 88.73° και tan⁻¹(100) = 89.43°.

Επιλέξτε μια σειρά για να φορτώσετε την τιμή στην αριθμομηχανή. Χρησιμοποιήστε τα κουμπιά στρογγυλοποίησης για εναλλαγή μεταξύ ακέραιων, δέκατων, εκατοστών, χιλιοστών και μέγιστης ακρίβειας.

Για να βρείτε το tan⁻¹ αρνητικών αριθμών, βρείτε το tan⁻¹ της θετικής τιμής και βάλτε το σύμβολο μείον μπροστά: tan⁻¹(−x) = −tan⁻¹(x) Το Arctangent είναι μια περιττή συνάρτηση, επομένως μια αρνητική είσοδος δίνει πάντα μια γωνία μεταξύ −90° και 0°.

• tan⁻¹(−0.5) = −26.57°
• tan⁻¹(−√3) = −60°
• tan⁻¹(−2) = −63.43°

Μια αρνητική κύρια τιμή δείχνει στο τεταρτημόριο IV. Προσθέστε 180° για γωνία τεταρτημορίου II, όταν το σημείο βρίσκεται αριστερά από τον άξονα y: atan2(1, −1) = 135°.

Τι είναι το tan−1 του −1;

Ο tan⁻¹ του −1 είναι −45°, ή −π/4 ακτίνια (−0.7854 rad). tan(−45°) = −1, και −45° βρίσκεται εντός του κύριου εύρους των −90° να 90°. Σε ένα 0° να 360° κλίμακα, η ίδια κατεύθυνση είναι 315°.