反正切計算機

反正切係返回正切等於給定數字嘅角度嘅函數。 反正切係寫成 tan⁻¹(x), arctan(x) 或者 atan(x)，而且佢反轉咗正切函數： tan(45°) = 1， 所以 tan⁻¹(1) = 45°.

反正切（正切）係三角學中其中一個 6 反三角函數： arcsin, arccos, arctan, arccsc, arcsec 同 arccot 。弧正切接受每個實數，並返回 −90° 同 90° （ − π/2 同 π/2 弧度）之間嘅主值。

喺直角三角形入面，一個角 θ 嘅正切等於對邊除以鄰近嘅邊。反正切攞嗰個相反/相鄰嘅比例，然後返回角度 θ 。喺代數學入面， tan⁻¹ 解方程，例如 tan θ = 2 ： θ = tan⁻¹(2) = 63.43° 。

• 輸入： 任何實數，例如比例、斜率或小數。
• 輸出： 以度或弧度計嘅角度。
• 範圍： −90° < θ < 90° ，或者 − π/2 < θ < π/2 。

要計算反正切，將相反嘅邊除以鄰近嘅邊，然後將 tan⁻¹ 應用喺結果上面。 反正切計算有 3 步驟：

1. 將 對面除以相鄰： x = 對立/相鄰。
2. 應用 反正切： θ = tan⁻¹(x) ，以弧度計。
3. 轉變 角度到度，如果需要：度 = 弧度 × 180/π.

對面 = 3 同鄰近 = 4 就係 x = 0.75 。 tan⁻¹(0.75) = 0.6435 雷達 = 36.87°。斜邊係由毕达哥拉斯定理得出： √(3² + 4²) = 5 。

仲有兩個反正切例子： tan⁻¹(0) = 0° 同 tan⁻¹(1/3) = 18.43° （ 0.3218 rad ）。

如果要用呢個反正切計算器，請揀一個輸入方法，輸入值，然後讀取角度。 使用 tan - 1 計算機需要 5 步驟：

1. 選擇 輸入：小數 / x ，對位 / 調整（相反/相鄰）或點 (x, y) 。
2. 輸入 值：小數、分數例如 3/4 或者表達式例如 1/√3 。
3. 揀 1 嘅 9 結果單位，包括度數、弧度、梯度同分弧。
4. 設定 四捨五入：整數、十分之一、百分之一、千分之一或最多 15 小數位，以獲得最大準確度。
5. 閱讀 角度、確切值、逐步解同圖表。開啟 顯示標籤 以命名三角形邊。

呢個弧線 tan 計算機會喺你打字嗰陣更新結果。重點 (x, y) 輸入用途 atan2(y, x)，所以個 arctan 計算機會返回全部嘅全角度 4 象限，由 −180° 去 180°.

逆切公式係 θ = tan⁻¹(對邊 / 鄰邊) 。

公式來自直角三角形嘅正切比， tan θ = 對立／相鄰。將 tan⁻¹ 應用喺兩邊，可以隔離角度 θ 。有 7 相關嘅反正切公式：

• 座標： θ = atan2(y, x) 為一個點 (x, y) 。
• 斜率： θ = tan⁻¹(m) ，其中 m = 上升/跑。
• 補字： tan⁻¹(x) + tan⁻¹(1/x) = 90° 為 x > 0 。
• 總和： tan⁻¹(a) + tan⁻¹(b) = tan⁻¹((a + b) / (1 − ab)) 為 ab < 1 。
• 微分（微積分，微分）： 啲/ dx tan⁻¹(x) = 1 / (1 + x²) 。
• 積分（積分）： ∫ tan⁻¹(x) dx = x·tan⁻¹(x) − ½·ln(1 + x²) + C 。
• 複數和双曲函數： tan⁻¹(z) = （ i/2 ） · ln((i + z) / (i − z)) = − i·tanh⁻¹(iz) 。

反正切（以度計）會畀出一個刻度上嘅角度 −90° 去 90°. 要將弧度結果轉換成度，乘以 180/π （關於 57.2958）。呢個弧度到度嘅轉換係讀數 θ° = θ 拉德 × 180/π.

度分為度、分同秒（ DMS ）。一度有 60 分鐘，一分鐘有 60 秒： tan⁻¹(0.75) = 36.8699° = 36° 52′ 11.6″ 。將秒數除以度數，將秒數除以 3,600 。

以弧度計嘅反正切會畀個角度，即係單位圓上嘅弧長度，介乎 − 之間π/2 同 π/2 (−1.5708 去 1.5708). 一個弧度係圓上嘅弧等於半徑嘅角度，而一個全轉就係 2π 弧度（360°).

將度數轉換成弧度，將度數乘以 π/180 。弧度有 4 逆切值值得知道：

• tan⁻¹(1) = π/4 = 0.7854 拉德
• tan⁻¹(√3) = π/3 = 1.0472 拉德
• tan⁻¹(0.75) = 0.6435 拉德
• tan⁻¹(1/3) = 0.3218 拉德

MATLAB 、 Excel 、 Python 同埋大部分編程語言都會以弧度返回 atan 嘅結果。 MATLAB 用 atand(x) 嚟表示度數，而 Excel 將結果包裝成 DEGREES() 。

要喺科學計算機上面用反正切，撳 SHIFT 或者 2nd 鍵，撳 tan ，輸入數字，然後撳等於。 有 4 步驟：

1. 設定 角度模式： DEG 代表度數或 RAD 代表弧度。
2. 㩒 SHIFT (Casio), 2nd （德州儀器）或者 INV 去到 tan⁻¹.
3. 按 tan 打開 tan⁻¹ （然後輸入號碼。
4. 按 = 顯示角度。

喺一個 Casio fx-82 或者 fx-991，關鍵序列 SHIFT, tan, 1， = 回報 45 喺度模式同埋 0.7853981634 喺弧度模式下。錯誤嘅角度模式係最常見嘅錯誤： tan⁻¹(1) 顯示 0.785 喺 RAD 模式而唔係 45.

Windows 計算機同 iPhone 計算機用相反嘅順序：先打數字，然後按 tan⁻¹ 。

如果要喺 Android 計算器（ Google 計算器）上面搵反正切，打開科學鍵，㩒一下 INV ，然後㩒一下 tan⁻¹ 。 過程有 4 步驟：

1. 打開 計算機，然後㩒一下鍵盤上面嘅展開箭頭，或者將手機側轉。
2. 點一下 DEG 或 RAD 選擇度數或弧度。
3. 水龍頭 INV: sin, cos 同 tan 改為 sin⁻¹, cos⁻¹ 同 tan⁻¹.
4. 點一下 tan⁻¹ ，輸入數字，然後點一下 = 。 tan⁻¹(1) 顯示 45 。

Samsung 計算機按照相同嘅順序：打開科學鍵，撳一下 Inv ，然後撳一下 tan⁻¹ 。

如果要喺 iPhone 計算機上面搵反正切，請切換去科學模式，輸入數字，㩒一下 2nd 同埋㩒一下 tan⁻¹ 。 過程有 4 步驟：

1. 開啟 計算機。喺 iOS 18 ，㩒一下計算機圖示，然後揀科學；喺 iOS 17 或之前，將 iPhone 側轉。
2. 檢查 角度模式： Rad 顯示屏上表示弧度， Rad/Deg 鍵切換模式。
3. 類型 數字，例如 1 。
4. 點一下 2nd ，然後 tan⁻¹ 。顯示屏顯示 45 。

iPhone 計算機會將 tan⁻¹ 套用到畫面上嘅數字，所以數字係第一位。

要喺 Windows 計算機上面搵反正切，切換去科學模式，輸入數字，打開三角測量，選擇 2nd ，然後選擇 tan⁻¹ 。 過程有 4 步驟：

1. 打開 計算機，選擇選單（ ☰ ），然後選擇科學。
2. 選擇 角度模式按鈕，直至顯示 DEG 、 RAD 或 GRAD 。
3. 類型 數字，例如 1 。
4. 打開 三角，選擇 2nd ，然後選擇 tan⁻¹ 。顯示屏顯示 45 。

Windows 計算機入面嘅 tan⁻¹ 鍵盤快捷鍵係 Shift + T 。

如果要喺冇計算機嘅情況下計算反正切，可以用 3 方法中嘅 1 ：特殊三角形、泰勒級數或者小角度規則。

1. 特別嘅直角三角形 畀確切嘅值。一 45-45-90 三角形畀 tan⁻¹(1) = 45°，同埋一個 30-60-90 三角形畀 tan⁻¹(1/√3) = 30° 同 tan⁻¹(√3) = 60°.
2. 泰勒系列 tan⁻¹(x) = x − x³/3 + x⁵/5 − x⁷/7 + ... 適用於 | x | ≤ 1 。為 | x | > 1 ，當 x > 0 時使用 tan⁻¹(x) = π/2 − tan⁻¹(1/x) 。四個項給出 tan⁻¹(0.5) ≈ 0.5 − 0.041667 + 0.00625 − 0.001116 = 0.463467 rad ，接近真實 0.463648 rad （ 26.565° ）。
3. 小角度規則 tan⁻¹(x) ≈ x 弧度保持喺 0.4% 之內，即係 | x | ≤ 0.1 。

計算機同電腦晶片用 CORDIC 算法（座標旋轉數碼電腦）評估正正切。 CORDIC 用固定嘅小角度旋轉向量，只需要移位同加法。

正切嘅逆有 4 常見嘅記號： tan⁻¹(x), arctan(x), atan(x) 同 arctg(x).

tan⁻¹(x) 入面嘅 −1 標記咗個逆函數，而唔係指數。 tan⁻¹(x) 唔同於（ tan x ） − 1 = 1/tan(x) ，等於 cot(x) 。弧前綴來自單位圓： arctan(x) 係弧長，以弧度計，佢嘅正切係 x 。

個 arctan(x) 圖係一條透過原點增加嘅 S 形曲線，喺兩個水平漸近點水平， y = π/2 同 y = −π/2. 反正切圖有 5 主要功能：

• 網域： 所有實數， (−∞, ∞) 。
• 範圍：(−π/2, π/2)，或（−90°，90°）。
• 對稱： 奇數函數，關於原點對稱。
• 斜率： 1 喺 x = 0 ，來自導數 1 / (1 + x²) 。
• 拐點： (0, 0) 。

arctan 圖係正切圖喺 (−π/2, π/2) 橫跨線 y = x 嘅反射。兩個圖表嘅領域同範圍會交換位置。

反正切表列出嚟 tan⁻¹(x) 為咗共同嘅價值觀 x 以度同弧度計。 確切嘅值嚟自特殊嘅角度 15°, 30°, 45°, 60° 同 75°.

The tangent table runs the other way, from angle to ratio: a tangent calculation gives tan(30°) = 0.5774, tan(45°) = 1 and tan(60°) = 1.7321. Large inputs approach 90°: tan⁻¹(45) = 88.73° and tan⁻¹(100) = 89.43°.

Select a row to load the value into the calculator. Use the rounding buttons to switch between integer, tenths, hundredths, thousandths and maximum accuracy.

要搵 tan⁻¹ 嘅負數，搵正值嘅 tan⁻¹ ，然後喺前面加個減號： tan⁻¹(−x) = − tan⁻¹(x) 。 Arctangent is an odd function, so a negative input always gives an angle between −90° and 0°.

• tan⁻¹(−0.5) = −26.57°
• tan⁻¹(−√3) = −60°
• tan⁻¹(−2) = −63.43°

A negative principal value points into quadrant IV. Add 180° for a quadrant II angle, when the point lies left of the y-axis: atan2(1, −1) = 135°.

What is the tan−1 of −1?

The tan⁻¹ of −1 is −45°, or −π/4 radians (−0.7854 rad). tan(−45°) = −1, and −45° lies inside the principal range of −90° to 90°. On a 0° to 360° scale, the same direction is 315°.