מחשבון ארקטנגנס

ארקטנגנס הוא הפונקציה שמחזירה את הזווית שהמשיק שלה שווה למספר נתון. משיק הפוך נכתב כ tan⁻¹(x), arctan(x) אוֹ atan(x), והוא הופך את פונקציית המשיק: tan(45°) = 1, אז tan⁻¹(1) = 45°.

ארקטנגנס (ארקטנגנס) הוא אחת מהפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות 6 בטריגונומטריה: arcsin, arccos, arctan, arccsc, arcsec ו-arccot. Arctangent מקבל כל מספר ממשי ומחזיר ערך עיקרי בין −90° ו90° (-π/2 ו-π/2 רדיאנים).

במשולש ישר זווית, הטנגנס של זווית θ שווה לצלע הנגדית חלקי הצלע הסמוכה. המשיק ההפוך לוקח את היחס המנוגד/סמוך ומחזיר את הזווית θ. באלגברה, tan⁻¹ פותר משוואות כגון tan θ = 2: θ = tan⁻¹(2) = 63.43°.

• קלט: כל מספר ממשי, כגון יחס, שיפוע או עשרוני.
• פלט: זווית במעלות או ברדיאנים.
• טווח: −90° < θ < 90°, או −π/2 < θ < π/2.

כדי לחשב ארקטנגנס, חלקו את הצלע הנגדית בצלע הסמוכה והחילו tan⁻¹ על התוצאה. לחישוב המשיק ההפוך יש 3 שלבים:

1. חלקו את הצד הנגדי לצד הסמוך: x = מול / צמוד.
2. החל את המשיק ההפוך: θ = tan⁻¹(x), ברדיאנים.
3. המר את הזווית למעלות, במידת הצורך: מעלות = רדיאנים × 180/π.

ממול = 3 ובסמוך = 4 נותנים x = 0.75. tan⁻¹(0.75) = 0.6435 rad = 36.87°. התחתון נובע ממשפט פיתגורס: √(3² + 4²) = 5.

עוד שתי דוגמאות משיק הפוך: tan⁻¹(0) = 0° ו-tan⁻¹(1/3) = 18.43° (0.3218 רד).

כדי להשתמש במחשבון משיק הפוך זה, בחר שיטת קלט, הקלד את הערך וקרא את הזווית. שימוש במחשבון tan-1 לוקח 5 צעדים:

1. בחר את הקלט: Decimal / x, Opp / Adj (מול/סמוך) או Point (x, y).
2. הזן את הערך: עשרוני, שבר כגון 3/4 או ביטוי כגון 1/√3.
3. בחר 1 מתוך 9 יחידות תוצאה, כולל מעלות, רדיאנים, גרדיאנים ודקות או שניות של קשת.
4. הגדר את העיגול: מספר שלם, עשיריות, מאיות, אלפיות או עד 15 מקומות עשרוניים לדיוק מירבי.
5. קרא את הזווית, הערך המדויק, הפתרון שלב אחר שלב והתרשים. הפעל את הצג תוויות כדי לתת שם לצלעות המשולש.

מחשבון קשת tan זה מעדכן את התוצאה תוך כדי הקלדה. קלט הנקודה (x, y) משתמש ב-atan2(y, x), כך שהמחשבון arctan מחזיר את הזווית המלאה בכל הרביעים 4, מ-−180° ל-180°.

נוסחת המשיק ההפוכה היא θ = tan⁻¹(הניצב שמול הזווית / הניצב שליד הזווית).

הנוסחה מגיעה מיחס המשיק של משולש ישר זווית, tan θ = הפוך / סמוך. החלת tan⁻¹ על שני הצדדים מבודדת את הזווית θ. יש 7 נוסחאות משיק הפוך הקשורות:

• קואורדינטות: θ = atan2(y, x) עבור נקודה (x, y).
• שיפוע: θ = tan⁻¹(m), כאשר m = עלייה / ריצה.
• משלים: tan⁻¹(x) + tan⁻¹(1/x) = 90° עבור x > 0.
• סכום: tan⁻¹(a) + tan⁻¹(b) = tan⁻¹((a + b) / (1 − ab)) עבור ab < 1.
• נגזרת (חשבון, בידול): d/dx tan⁻¹(x) = 1 / (1 + x²).
• אינטגרל (אינטגרציה): ∫ tan⁻¹(x) dx = x·tan⁻¹(x) − ½·ln(1 + x²) + C.
• מספרים מורכבים ופונקציות היפרבוליות: tan⁻¹(z) = (i/2)·ln((i + z) / (i − z)) = −i·tanh⁻¹(iz).

משיק הפוך במעלות נותן את הזווית בסולם מ −90° אֶל 90°. כדי להמיר תוצאת רדיאן למעלות, הכפל ב 180/π (אוֹדוֹת 57.2958). זה רדיוס למעלות קריאת המרה θ° = θ רד × 180/π.

מעלה מתפצלת למעלות, דקות ושניות (DMS). לתואר אחד יש 60 דקות, ולדקה אחת יש 60 שניות: tan⁻¹(0.75) = 36.8699° = 36° 52′ 11.6″. עבור שניות למעלות, חלק את השניות ב-3,600.

משיק הפוך ברדיאנים נותן את הזווית כאורך קשת על מעגל היחידה, בין -π/2 ו π/2 (−1.5708 אֶל 1.5708). רדיאן אחד הוא הזווית שהקשת שלה במעגל שווה לרדיוס, וסיבוב שלם הוא 2π רדיאנים (360°).

להמרת מעלות לרדיאנים, הכפל את המעלות ב-π/180. יש 4 ערכי משיק הפוכים ברדיאנים שכדאי לדעת:

• tan⁻¹(1) = π/4 = 0.7854 רד
• tan⁻¹(√3) = π/3 = 1.0472 רד
• tan⁻¹(0.75) = 0.6435 רד
• tan⁻¹(1/3) = 0.3218 רד

MATLAB, Excel, Python ורוב שפות התכנות מחזירות atan תוצאות ברדיאנים. MATLAB משתמש בatand(x) לתארים, וExcel עוטף את התוצאה בDEGREES().

כדי להשתמש בממשק הפוך במחשבון מדעי, הקש על מקש SHIFT או 2nd, הקש tan, הזן את המספר והקש שווה. ישנם 4 שלבים:

1. הגדר את מצב הזווית: DEG עבור מעלות או RAD עבור רדיאנים.
2. לִלְחוֹץ SHIFT (Casio), 2nd (טקסס אינסטרומנטס) או INV להגיע tan⁻¹.
3. לחץ tan כדי לפתוח את tan⁻¹(והקלד את המספר.
4. לחץ על = כדי להציג את הזווית.

על א Casio למשל-82 או למשל-991, רצף המפתחות SHIFT, tan, 1, = מחזיר 45 במצב מעלות ו 0.7853981634 במצב רדיאן. מצב זווית שגוי הוא השגיאה הנפוצה ביותר: tan⁻¹(1) מופעים 0.785 ב RAD מצב במקום 45.

Windows מחשבון וiPhone מחשבון משתמשים בסדר הפוך: הקלד תחילה את המספר ולאחר מכן הקש tan⁻¹.

כדי למצוא משיק הפוך במחשבון Android (מחשבון גוגל), פתח את המקשים המדעיים, הקש על INV והקש על tan⁻¹. לתהליך יש 4 שלבים:

1. פתחו מחשבון והקש על חץ ההרחבה מעל לוח המקשים, או סובב את הטלפון הצידה.
2. הקש על DEG או RAD כדי לבחור מעלות או רדיאנים.
3. בֶּרֶז INV: sin, cos ו tan לשנות ל sin⁻¹, cos⁻¹ ו tan⁻¹.
4. הקש על tan⁻¹, הקלד את המספר והקש על =. tan⁻¹(1) מציג 45.

Samsung מחשבון עוקב אחר אותו סדר: פתח את המפתחות המדעיים, הקש על Inv ואז הקש על tan⁻¹.

כדי למצוא משיק הפוך במחשבון iPhone, עבור למצב מדעי, הקלד את המספר, הקש על 2nd והקש על tan⁻¹. לתהליך יש 4 שלבים:

1. פתוח מחשבון. ב-iOS 18, הקש על סמל המחשבון ובחר Scientific; ב-iOS 17 ומעלה, סובב את ה-iPhone הצידה.
2. בדוק את מצב הזווית: Rad בתצוגה פירושו רדיאנים, והמקש Rad/Deg מחליף מצבים.
3. הקלד את המספר, למשל 1.
4. הקש על 2nd, ואז על tan⁻¹. התצוגה מציגה 45.

iPhone מחשבון מחיל tan⁻¹ על המספר שעל המסך, כך שהמספר קודם.

כדי למצוא משיק הפוך במחשבון Windows, עבור למצב מדעי, הקלד את המספר, פתח את הטריגונומטריה, בחר 2nd ובחר tan⁻¹. לתהליך יש 4 שלבים:

1. פתחו מחשבון, בחר בתפריט (☰) ובחר מדעי.
2. בחר בלחצן מצב הזווית עד שיופיע DEG, RAD או GRAD.
3. הקלד את המספר, למשל 1.
4. פתח טריגונומטריה, בחר 2nd ולאחר מכן בחר tan⁻¹. התצוגה מציגה 45.

קיצור המקשים עבור tan⁻¹ במחשבון Windows הוא Shift + T.

כדי לחשב ארקטנגנס ללא מחשבון, השתמש בשיטות 1 מתוך 3: משולשים מיוחדים, סדרת טיילור או כלל הזווית הקטנה.

1. משולשים ישרים מיוחדים לתת ערכים מדויקים. א 45-45-90 משולש נותן tan⁻¹(1) = 45°, וכן א 30-60-90 משולש נותן tan⁻¹(1/√3) = 30° ו tan⁻¹(√3) = 60°.
2. סדרת טיילור tan⁻¹(x) = x − x³/3 + x⁵/5 − x⁷/7 + … עובד עבור |x| ≤ 1. עבור |x| > 1, השתמש ב-tan⁻¹(x) = π/2 − tan⁻¹(1/x) כאשר x > 0. ארבעה איברים נותנים tan⁻¹(0.5) ≈ 0.5 − 0.041667 + 0.00625 − 0.001116 = 0.463467 רד, קרוב ל- 0.463648 רד האמיתי (26.565°).
3. כלל הזווית הקטנה tan⁻¹(x) ≈ x רדיאנים נשאר בטווח 0.4% עבור |x| ≤ 0.1.

מחשבונים ושבבי מחשב מעריכים arctangent עם האלגוריתם CORDIC (קואורדינטה סיבוב DIgital Computer). CORDIC מסובב וקטור דרך זוויות קטנות קבועות עם הזזות ותוספות בלבד.

היפוך של משיק יש 4 סימונים נפוצים: tan⁻¹(x), arctan(x), atan(x) ו-arctg(x)].

ה-−1 ב-tan⁻¹(x) מסמן פונקציה הפוכה, לא מעריך. tan⁻¹(x) שונה מ- (tan x)⁻¹ = 1/tan(x), השווה ל-cot(x). קידומת הקשת מגיעה ממעגל היחידה: arctan(x) הוא אורך הקשת, ברדיאנים, שהמשיק שלו הוא x.

ה arctan(x) הגרף הוא עקומה הולכת וגדלה בצורת S דרך המקור שמתיישרת בשתי אסימפטוטות אופקיות, y = π/2 ו y = −π/2. לגרף המשיק ההפוך יש 5 תכונות מפתח:

• דומיין: כל המספרים הממשיים, (−∞, ∞).
• טווח: (−π/2, π/2), או (−90°, 90°).
• סימטריה: פונקציה אי-זוגית, סימטרית לגבי המקור.
• שיפוע: 1 בx = 0, מהנגזרת 1 / (1 + x²).
• נקודת פיתול: (0, 0).

הגרף arctan הוא השתקפות הגרף המשיק על (−π/2, π/2) מעבר לקו y = x. התחום והטווח של שני הגרפים מחליפים מקומות.

טבלת המשיק ההפוכה רשימות tan⁻¹(x) לערכים משותפים של x במעלות וברדיאנים. ערכים מדויקים מגיעים מהזוויות המיוחדות 15°, 30°, 45°, 60° ו 75°.

טבלת המשיקים פועלת לכיוון השני, מזווית ליחס: חישוב משיק נותן tan(30°) = 0.5774, tan(45°) = 1 וtan(60°) = 1.7321. כניסות גדולות מתקרבות ל-90°: tan⁻¹(45) = 88.73° ו-tan⁻¹(100) = 89.43°.

בחר שורה כדי לטעון את הערך למחשבון. השתמש בלחצני העיגול כדי לעבור בין מספר שלם, עשיריות, מאיות, אלפיות ודיוק מרבי.

כדי למצוא tan⁻¹ של מספרים שליליים, מצא tan⁻¹ של הערך החיובי ושם סימן מינוס לפני: tan⁻¹(−x) = −tan⁻¹(x). Arctangent היא פונקציה אי-זוגית, ולכן קלט שלילי נותן תמיד זווית בין −90° ל-0°.

• tan⁻¹(−0.5) = −26.57°
• tan⁻¹(−√3) = −60°
• tan⁻¹(−2) = −63.43°

ערך עיקרי שלילי מצביע לרביע IV. הוסף את 180° עבור זווית ברבע II, כאשר הנקודה נמצאת משמאל לציר y: atan2(1, −1) = 135°.

מה זה tan−1 של −1?

ה tan⁻¹ שֶׁל −1 הוא −45°, או -π/4 רדיאנים (−0.7854 ראד). tan(−45°) = −1, ו −45° נמצא בטווח העיקרי של −90° אֶל 90°. על א 0° אֶל 360° קנה מידה, אותו כיוון הוא 315°.